法律分析：在执行判决过程中，若被判决人存在刑事责任问题，则需遵循相关法律规定进行处理。被判决人应严格遵守判决执行的各项规定，如有必要，可以申请暂缓执行，但不能违反判决执行的要求。
法律依据：
1.《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十二条：判决确定后，应当依照判决的内容，及时告知当事人，并告知判决的法律后果和判决执行的期限。
2.《中华人民共和国刑法》第二百零：被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，在规定的期限内不服判决或者不提出抗诉的，应当自判决确定之日起执行。
3.《中华人民共和国刑法》第一百七十三条：被判处有期徒刑或者拘役的罪犯在服刑期间犯罪的，依法追究刑事责任，可以在有期徒刑或者拘役期间决定执行完毕后再执行新判决。
4.《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百四十条：当事人对判决不服，提出抗诉的，原判决不停止执行。
以上是针对被判决执行后如何避免被追究刑事责任的法律分析和法律依据，被判决人应当严格遵守判决执行的规定，合法维护自己的权益。
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